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問題1: 不等式と実数範囲
- \( \sqrt{x+3} > 2 \)
- \( 方程式を平方して、x+3>4 \)
- \( 解：x>1 \)
- \( \sqrt{5-x} < 3 \)
- \( 方程式を平方して、5-x<9 \)
- \( 解：x>-4 \)
- \( しかし、\sqrt{5-x}の定義からx≤5も考慮する必要がある。 \)
- \( したがって、最終的な解は-4<x≤5。 \)
- \( x^2-6x+9<0 \)
- \( 完全平方：(x-3)^2<0 \)
- \( この不等式は実数範囲では成り立たないため、解は存在しない。 \)
問題2: 絶対値を含む方程式
- \( |x+2| = 5 \)
- \( x+2=5 または x+2=-5 \)
- \( x=3 または x=-7 \)
- \( |2x-3| = |x+4| \)
- \( 2x-3 = x+4 または 2x-3=-(x+4) \)
- \( x=7 または x= -\frac{1}{3} \)
問題3: 根号を含む不等式
- \( \sqrt{x^2-4} > 2 \)
- \( 方程式を平方して、x^2-4 > 4 \)
- \( x^2 > 8 \)
- \( 解：x > \sqrt{8} または x < – \sqrt{8} \)
- \( \sqrt{9-x^2} ≤ 3 \)
- \( この不等式はすべての実数xに対して成り立つが、\sqrt{9-x^2}
の定義から 9-x^2
≥ 0 \) - \( 解：-3 ≤ x ≤ 3 \)
問題4: 実数の範囲とパラメータ
- \( 与えられた条件から、二次方程式ax^2-4x+4 > 0 が常に正であることを求める。 \)
- \( これは、方程式の判別Dが負であるか、方程式が実数解をもたない場合に成立する。 \)
- \( 判別式はD = b^2-4ac = (-4)^2-4(a)(4) = 16 – 16a。 \)
- \( D < 0 となるためには、16 – 16a < 0 、したがって a > 1。 \)
問題5: 複雑な平方根の計算
- \( \sqrt{12} + \sqrt{27} – \sqrt{75} \)
- \( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} – 5\sqrt{3} = 0 \)
- \( 2\sqrt{50} – 3\sqrt{8} + \sqrt{18} \)
- \( 2 \times 5\sqrt{50} – 3 \times 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 10\sqrt{2} – 6\sqrt{2} +3\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
