レベル3の問題です。このページも15分を目安に解答してみましょう。
最後に解答のヒントを掲載しています。
問題1: 不等式と実数範囲
次の不等式を満たす実数\( x \)の範囲を求めなさい。
- \( \sqrt{x+3} > 2 \)
- \( \sqrt{5-x} < 3 \)
- \( x^2-6x+9 < 0 \)
問題2: 絶対値を含む方程式
次の方程式の解を求めなさい。
- \( | x+2 | = 5 \)
- \( | 2x-3 | = | x+4 | \)
問題3: 根号を含む不等式
次の不等式を満たす実数\( x \)の範囲を求めなさい。
- \( \sqrt{x^2-4} > 2 \)
- \( \sqrt{9-x^2} ≤ 3 \)
問題4: 実数の範囲とパラメータ
以下の条件を満たす実数\( a \)の範囲を求めなさい。
\( 条件：すべての実数xに対して、ax^2-4x+4 > 0 が成り立つ。 \)
問題5: 複雑な平方根の計算
次の計算をして、最も簡単な形にしなさい。
- \( \sqrt{12} + \sqrt{27} – \sqrt{75} \)
- \( 2\sqrt{50} – 3\sqrt{8} + \sqrt{18} \)
解答のヒント
- 問題1: 方程式を解く際には、平方して不等式を解く方法が役立つ。ただし、解の検証が必要になる場合がある。
- 問題2: 絶対値を含む方程式では、絶対値の定義を用いて、場合分けを行う。
- 問題3: 根号を含む不等式を解くには、不等式を平方して扱う。解の範囲を正確に求めるためには、元の不等式の定義域を確認する必要がある。
- 問題4: 与えられた条件下で不等式が常に成り立つためのパラメータの条件を求める問題。二次関数のグラフや判別式がキーポイントになる。
- 問題5: 平方根の加法と乗法の規則を用いて、式を簡単化する。合同式を活用すると計算を簡略化できる。
