問題1: 完全平方形式への変形と解
- \( x^2-10x+25=(x-5)^2 = 0より、 \)
- \( 解はx=5、重解である。 \)
問題2: 判別式を用いた解の性質
- \( 判別式D=b^2-4ac=(-18)^2-4 \times 3 \times 27 = 324-324=0。 \)
- \( D=0なので、方程式は重解を持つ。 \)
問題3: 特定条件下の二次方程式
- \( 解の席と和から1+x=k+1とx=kを得る。 \)
- \( これを解くと、k=1。 \)
問題4: 実数解の存在条件
- \( 判別式D=(2k-3)^2-4 \times 1 \times (k^2-2)を計算する。 \)
- \( D=4k^2-12k +9 -4k^2 +8 ≥ 0 より、 \)
- \( -12k + 17 ≥ 0、従ってk≤ \frac{17}{12} 。\)
問題5: 解の公式の応用
- \( 解が等しいためにはD=0である必要がある。 \)
- \( (-4)^2-4 \times 1 \times c=0より16-4c=0、 \)
- \(これを解くとc=4。 \)
