問題1: 高次式の因数分解
- \( x^4 – 16 \)
- \( =(x^2 + 4)(x^2 – 4) \) ：さらに(x^2-4)を因数分解する。
- \( =(x^2 + 4)(x + 2)(x – 2) \)
問題2: 複雑な三項式の因数分解
- \( x^3 – 3x^2 – 4x + 12 \)
- \( =x^2(x-3) – 4(x-3) \) ：それぞれをグループ分けする。
- \( =(x-3)(x^2-4) \) ：x^2-4を因数分解する。
- \( =(x-3)(x+2)(x-2) \)
問題3: 因数分解における置換法の利用
- \( x^4+2x^2y^2+y^4 \)
- \( z^2 + 2zy^2 + y^4 ：z=x^2と置換する。 \)
- \( (z + y^2)^2 ：この式にz=x^2を代入する。\)
- \( x^2 + y^2)^2 \)
問題4: 二重平方の和の因数分解
- \( (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2) \)
- \( ※ソフィー・ジェルマン恒等式を使用します。 \)
- \( a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 – 2ab + 2b^2) \)
問題5: 多変数多項式の因数分解
- \( x^3y + xy^3 – 2x^2y^2 \)
- \( =xy(x^2 + y^2 – 2xy) \)
- \( =xy(x-y)^2 ：x^2+y^2-2xy=(x-y)^2より \)
