問題1: 複数の二次方程式のシステム
- \( y=9-xをx^2+y^2=25に代入して、 \)
- \( x^2+(9-x)^2=25 \)
- \( これを解いてx=3,y=6またはx=6,y=3 \)
問題2: 判別式を用いたパラメータの条件
- \( 判定式D=(k+3)^2-4kが0以上である条件を求める。 \)
- \( D=k^2+6k+9-4k=k^2+2k+9≥0 \)
- \( これは全ての実数kで成り立つ。 \)
問題3: 最大値・最小値問題
- \( 解がともに正であるためには、x^2-4x+c=0の頂点のx座標が正で、判別式が0以上である必要がある。\)
- \( 頂点のx座標は2、判別式D=(-4)^2-4c≥0よりc≤4 \)
- \( 解がともに正であるためにはc>0である必要があるから、cの最小値は0より大きい最小の値、 \)
- \( つまりcの最小値は正の値で、判別式からc=1が適切。 \)
問題4: 幾何問題への応用
- \( 正方形の対角線の長さはx\sqrt{2}、これが直径と等しいので、x\sqrt{2}=2r。 \)
- \( x=r\sqrt{2}が解。 \)
問題5: 速度と距離に関する応用問題
- \( 方程式が実数解を持つための条件は、判別式Dが0以上であることです。したがって、判別式D=b^2-4acを計算します。 \)
- \( この場合、a=1、b=-(a+1)、c=aであるため、 \)
- \( D=(-(a+1))^2-4 \times 1 \times a = (a+1)^2 – 4a \)
- \( これを展開して、D=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1 \)
- \( D≥0となるaの範囲を求めます。既にDは完全平方形式a^2-2a+1=(a-1)^2であり、 \)
- \( これは全ての実数aに対して非負です。したがって、D=(a-1)^2≥0は常に成立します。 \)
- \( 結論として、方程式x^2-(a+1)x+a=0が実数解を持つような定数aの範囲は全ての実数aです。 \)
